PENCOCOKAN KURVA (Curve Fitting) INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI

 

Menurut Prasetyo (2013), fisika merupakan cabang ilmu pengetahuan alam atau sains yang pada dasarnya memiliki hakikat sama dengan sains itu sendiri. Umumnya ilmu fisika adalah ilmu yang berkaitan erat dengan ilmu matematika. dimana teori fisika banyak dinyatakan dalam notasi matematis. Perbedaan antara fisika dan matematika adalah fisika berkaitan dengan dunia material, sedangkan matematika berkaitan dengan pola-pola abstrak yang tak selalu berhubungan dengan dunia material (Agnes, 2019). Ada wilayah luas penelitIan yang beririsan antara fisika dan matematika, yakni fisika matematis, yang mengembangkan struktur matematis bagi teori-teori fisika (Ishaq, 2007).

Sebagian orang berpendapat bahwa fisika merupakan hal yang sulit. Hal tersebut dikarenakan fisika sangat erat hubungannya dengan perhitungan. Sama hal nya dengan anggapan mengenai matematika (Hugh dan Roger, 2002).

Fisika dapat dipelajari melalui 3 metode secara garis besar, yaitu menggunakan memakai pemahaman konsep atau menggunakan teori fisika yang bisa melahirkan teori fisika. Selanjutnya yaitu melalui eksperimen/pengamatan yang bisa menciptakan suatu fisika eksperimental. Terakhir, melalui simulasi tanda-tanda kenyataan alam disekitar kita yang sangat didukung teknologi dan paduan berfikir melalui algoritma berupa angka-angka (Said, 2015).

Pada umumnya teori komputasi merupakan suatu ilmu yang menekankan dalam penyusunan contoh matematika disertai penyelesaian numerik yang bisa memecahkan duduk perkara pada dunia sains. Fokus makalah ini berisikan mengenai pencocokan kurva yang merupakan teknik yang penting dan sangat diperlukan untuk menanganidata hasil pengukuran suatu variabel, sehingga diperoleh gambaran jelas mengenai sifat-sifat atau perilaku variabel yang kita ukur. Pembahasan kali ini meliputi metode pencocokan kurva interpolasi dan ekstrapolasi, menentukan persamaan kurva, disertai contoh soal.

Pencocokan Kurva

Pencocokan Kurva (Curve Fitting) adalah salah satu metode dalam mengestimasi kurva/garis yang mewakili serangkaian titik data (Al Rusman, dkk, 2016). Terdapat dua alasan mengapa pencocokan kurva dari data hsil pengukuran sangat penting. Pertama, hal tersebut karena dengan cara fitting akan dapat memberikan gambaran sistematis tentang hubungan dua variable yang akan diukur. Dan dari persamaan kurva yang dipeoleh digunakan untuk memprediksikan harga variabel tak bebas di suatu titik dengan cara menginterpolasi diantara harga-harga terukur (Rendi, 2020).

Terdapat dua metode dalam curve fitting (pencocokan kurva) yaitu regresi dan interpolasi. Perbedaan antara keduanya terletak pada error. Regresi adalah metode atau cara menentukan persamaan yang melewati kumpulan titik, namun tidak semua titik dapat dengan tepat dilewati fungsi/persamaan regresi. Sedangkan interpolasi secara sederhana diartikan sebagai metode yang digunakan untuk menentukan fungsi yang sesuai dari titik-titik yang berikan.

Interpolasi/ekstrapolasi bertujuan untuk membangun suatu kurva yang melalui semua titik data. Interpolasi kurva yang dibangun dipakai untuk menaksir f(x) nilai  dengan x berada di dalam interval titik-titik data yang diberikan. Sedangkan ekstrapolasi merupakan kurva yang dibangun dipakai untuk menaksir nilai f(x) dengan x berada di luar interval titik-titik data yang diberikan.

Metode Pencocokan Kurva

Metode yang paling sederhana untuk mencocokkan data kepada suatu kurva tertentu adalah dengan mengeplot titik-titik data tersebut dan menarik garis yang bersesuaian dengan data tersebut. Kalau hal ini yang dilakukan, maka masalah yang timbul kemudian adalah cara menginterpretasikan data hasil pengukuran tersebut Dalam hal ini jelas akan bergantung kepada subyektivitas dari peneliti itu sendiri. Sebagai contoh, pada gambar 1 ditampilkan empat hasil pencocokan data kepada kurva yang dilakukan oleh empat peneliti.

Gambar 1. Empat eksperimen yang dilakukan oleh empat peneliti menghasilkan enam data. Pencocokan data kepada suatu kurva dilakukan menurut subyektivitas peneliti sendiri.

1. Regresi Linier

Regresi linier adalah sebuah metode pencarian persamaan linier berdasarkan pada seperangkat titik data hasil pengukuran. Untuk lebih jelasnya, kita akan mengambil sebuah contoh data pengukuran suhu dalam sepuluh menit seperti terlihat pada tabel 1. Dengan data yang kita miliki tersebut, kita dapat menarik garis semau kita yang sama-sama dekat dengan titik data, meskipun tidak ada satupun garis melewati tepat pada titik-titik data tersebut (lihat gambar 1. Pertanyaan selanjutnya adalah, bagaimanakah caranya untuk memperoleh persamaan garis yang cocok dengan data pengukuran itu sehingga diperoleh simpangan minimal. Untuk tujuan ini, dimisalkan fungsi pendekatan linier ini dinyatakan oleh

..... 1) 

dimana a dan b merupakan konstanta-konstanta sembarang.

Gambar 2. Plot data pengukuran dari tabel 1

Tabel 1

Penyimpangan setiap titik data dengan fungsi dinyatakan oleh

... 2) 

              dengan M merupakan jumlah total titik-titik data. Simpangan harga antara besaran yang                          teramati (observed value) yang dinyatakan oleh yi dengan harga prediksi (predicted value)                      yang dinyatakan oleh y(xi) juga. sering disebut residu. Dalam contoh tersebut kita       memiliki              sebelas titik data, dengan a dan b merupakan konstanta-konstanta yang akan ditentukan                          kemudian. Selanjutnya, kita dapat menyatakan total kuadrat simpangan data (residu) diberi-                    kan oleh

... 3) 

Oleh karena a dan b merupakan parameter-parameter sembarang, maka untuk menentukan harga dari dua parameter tersebut harus dilakukan dengan cara meminimisasi D. Minimisasi terhadap total kuadrat simpangan dinyatakan dengan menurunkan satu kali D  terhadap parameter a dan b, atau jika dituliskan secara matematis bentuknya adalah

... 4) 

         Persamaan di atas dapat dinyatakan kembali sebagai

 ... 5)

Sehingga kita dapat mendefinisikan bentuk-bentuk jumlahan (sum) sebagai berikut

... 6)

   Dalam persamaan tersebut indeks i bergerak  dari 1 sampai M. Dengan definisi 5) tersebut,             maka kita memiliki dua persamaan linier simultan sebagai berikut

 ... 7)

Atau jika disajikan dalam bentuk matriks, maka persamaan linier 7) dapat dituliskan kembali menjadi

... 8)

Penyelesaian dua persamaan linier simultan dengan dua variabel tak diketahui dapat dinyatakan sebagai

... 9)

dimana 

2. Pencocokan Data dengan Fungsi Eksponensial 

Metode regresi linier dapat pula digunakan untuk mencocokkan data terhadap fungsi-fungsi eksponensial dalam beberapa kasus. Kita ingat kembali, secara umum fungsi eksponensial dapat dinyatakan sebagai

... 10)

Dalam hal ini, fungsi eksponensial memerikan banyak fenomena yang berbeda-beda di dalam ilmu teknik. Parameter a dan b dapat kita tentukan dengan sedikit manipulasi matematis dasar. Misalnya sekarang kita ambil logaritma alamiah untuk kedua ruas persamaan 10), maka kita peroleh ungkapan

... 11) 

Dengan menggunakan definisi

... 12)

maka persamaan 8) menjadi 

u = bx + c ... 13)

yang merupakan persamaan garis lurus (tetapi perlu diingat bahwa bentuk ini tidak sama dengan persamaan garis lurus yang kita kenalkan sebelumya). Jadi kita dapat mencocokkan seperangkat data dengan suatu fungsi eksponensial dengan cara seperti yang kita lakukan pada garis lurus. Dengan mensubstitusi u atau ln (y) untuk variabel tak bebas, parameter b untuk lereng (slope) dan c untuk perpotongan pada sumbu u, maka kita memperoleh satu garis lurus, yaitu

 

.... 14)

Jika ditampilkan dalam bentuk matriks, maka persamaan 14) menjadi

... 15)

Dari ungkapan matriks 15), maka koefisien b dan c dapat ditentukan masing-masing adalah

... 16)

Selanjutnya, koefisien a dapat diperoleh kembali dengan mengambil antilogaritma dari parameter c yang sudah kita ketahui harganya, yaitu

... 17)

3. Pencocokan Data Menggunakan Fungsi Berpangkat

Fungsi berpangkat merupakan fungsi matematis yang memiliki bentuk umum

... 18) 

dengan a dan b merupakan konstanta-konstanta persamaan linier yang akan ditentukan melalui teknik regresi linier. Untuk menerapkan metode kuadrat terkecil pada persamaan 18) tersebut, maka kita harus mengambil logaritma alamiahnya pada kedua ruas persamaan sehingga diperoleh ungkapan 

... 19)

Dengan menggunakan definisi 

... 20)

maka persamaan (2-19) dapat kita tuliskan kembali menjadi 

v = bu + c ... 21)

yang merupakan persamaan untuk garis lurus. Untuk menerapkan metode kuadrat terkecil pada masalah ini, maka dapat dilakukan langkah-langkah analogi pada ungkapan 4) sampai dengan 8) sehingga diperoleh ungkapan

... 22)

Sehingga harga-harga untuk konstanta a dan b dapat ditentukan melalui hubungan

... 23)

Setelah ditemukan harga untuk parameter b dan c, maka harga a dapat ditemukan kembali melalui hubungan 

... 24)

4      Regresi Polinomial

Pada pembahasan terdahulu kita telah membicarakan tentang regresi linier yang bekerja pada data hasil pengukuran yang bersifat linier intrinsik. Tetapi, kita terpaksa harus menelan rasa kecewa pada metode ini, yakni ketika data yang kita peroleh tidak memiliki sifat linier. Mengapa ? Karena penggunaan metode regresi linier seperti dipaksakan hanya untuk mengikuti ambisi kita bahwa grafik hasil pengukuran harus linier. Nah, untuk mengobati rasa kecewa tersebut pada pasal ini kita akan membahas regresi polinomial yang mana untuk beberapa kasus metode ini akan memberikan hasil yang lebih cocok dengan kenyataan.

Prinsip dari metode kuadrat terkecil dapat diperluas lagi untuk pencocokan data hasil pengukuran kepada sebuah polinomial orde tertentu . secara umum, polinomial berorde ke N dapat dituliskan sebagai

... 25)

Simpangan kurva terhadap  tiap-tiap titik data dapat dinyatakan sebagai

... 26)

dimana M adalah jumlah titik data. Selanjutnya, total kuadrat simpangannya dinyatakan oleh

... 27)

Untuk memperoleh harga-harga koefisien polinomial, maka kita harus menurunkan secara parsial persamaan 27) terhadap koefisien-koefisien tersebut. Pada keadaan dimana total simpangannya berada pada titik ekstrim, maka turunannya sama dengan nol. 

... 28)

Persamaan-persamaan pada 28) selanjutnya akan kita susun kembali untuk memperoleh bentuk yang lebih manis, sehingga lebih mudah untuk ditangani.

... 29) 

Pernyataan 29) dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks yaitu,

... 30)

Harga koefisien-koefisien polinomial di atas dapat ditentukan dengan cara menyelesaikan persamaan linier simultan 30) misalnya dengan metode eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan.

5.     Pencocokan Data kepada Kurva Kombinasi Linier Fungsi-Fungsi

Ide dasar dari pencocokan kurva dengan kombinasi linier fungsi-fungsi ini sebenarnya berasal regresi polinomial. Lalu apa bedanya? Bedanya adalah, jika pada regresi polinomial kita menggunakan kombinasi linier fungsi dengan argumen sejenis dan orde yang berbeda atau kita biasa menyebutnya dengan polinomial, sedangkan pencocokan kurva yang akan kita bahas ini menggunakan kombinasi linier dari fungsi-fungsi yang tidak sejenis.

Secara umum, polinomial sebagai kombinasi dari fungsi-fungsi tidak sejenis dapat dinyatakan sebagai

 ... 31)

dengan y1, y2, y3, ... merupakan fungsi-fungsi yang telah diketahui, dan a1, a2, a3, ... adalah koefisien-koefisien yang akan ditentukan kemudian dan  adalah jumlah total fungsi yang kita kombinasikan secara linier.

Seperti halnya dengan beberapa metode yang telah dibahas di depan, maka simpangan dari tiap-tiap titik data terhadap fungsi kurva yang digunakan untuk pencocokan didefinisikan oleh 

 ... 32)

Total kuadrat simpangan 18) didefinisikan sebagai

... 33)

Untuk memperoleh harga koefisien-koefisien a1, a2, a3, ... maka kita perlu melakukan pengambilan derivatif parsial D terhadap koefisien-koefisien tersebut dengan nol, sehingga kita bertemu lagi dengan pernyataan 

 ... 34)

Jika persamaan 34) diperlihatkan secara eksplisit berbentuk

... 35)

Penampilan dalam bentuk matriks pernyataan (2-35) menjadi lebih sederhana yaitu,

... 36)

Persamaan 36) memiliki N buah persamaan dengan N koefisien tak diketahui. Penyelesaian dari persamaan linier simultan ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan (Rendi, 2014).

    Persamaan Kurva Orde Tinggi

Dalam menentukan persamaan kurva, kita bisa menggunakan salah satu contoh aplikasi integral. Lebih lanjut ini digunakan pada berbagai ilmu terapan seperti matematika, ekonomi dan lainnya. Misalkan dalam menentukan persamaan kurva keseimbangan permintaan dan penawaran. Dari jejak garis, akan terlihat gradien garis dan bisa dicari persamaan kurva yang dilaluinya.

Pembahasan di sini kita batasi sekedar bagaimana menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi/gradien garis yang diketahui dengan menggunakan integral. Sebagai pengantar awal, kita harus ingat kembali pengertian dan defenisi integral. Integral adalah bentuk anti-turunan dari sebuah fungsi, dimana

... 37)

Berdasarkan definisi integral dan turunan di atas, artinya jika diketahui turunan maka untuk mencari F(x) cukup diintegralkan. Secara umum langkah menentukan persamaan kurva atau grafik dengan integral sebagai berikut,

 1.   Integralkan Fungsi. Perlu diperhatikan apakah yang diberikan turunan pertama, turunan kedua   atau turunan ke berapa.

 2.      Gunakan nilai yang diketahui di soal untuk menentukan nilai konstanta C.

 3.      Tulis persamaan kurva dengan sempurna.

    Interpolasi dan Ekstrapolasi

Di dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpolasi dalam arti luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titik x1,x2,x3,………,xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y = f( x) tidak diketahui. Ekstrapolasi yaitu suatu metode untuk memprediksikan data diluar data-data yang diperoleh. Jadi metode ini digunakan untuk memprediksikan data-data diluar data eksperimen yang kita dapatkan.

Terdapat beberapa interpolasi dan ekstrapolasi, disini bergantung kepada persamaan fungsi yang didapat, misal eksponensial, kuadrat, dan lain-lain.

Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar interval titik-titik yang diketahui (ekstrapolasi). Permasalahan utama dalam interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya. Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan trigonometri.

Proses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik (data) yang ada, dan kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f (x, y, z). Interpolasi multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu dimensi.

1.      Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan Interval Konstan

Polinomial interpolasi kedepan Newton F f(x) dengan x0       n-1 sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:

... 38 

... 39)

difference, sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan 39) disebut dengan interpolasi kedepan cara Newton. Perbedaan kedepan dihitung sebagai berikut:

... 40)

Secara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam tabel berikut ini.

2.      Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan Interval Konstan

Contoh :

Posisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada tabel. Dari data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450,5.

Jawaban:

Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300,5. Perhitungan perbedaan nilai kedepan diberikan dalam tabel berikut ini.

Berikut dilampirkan powerpoint yang berkaitan dengan materi yang dibahas di blog ini yaitu mengenai pencocokan kurva